Простейшие потоки марковские процессы и цепи решение. Марковские процессы: примеры. Марковский случайный процесс. по дисциплине «Математические методы»

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.
Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.
Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок, вообще говоря, также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.
Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.

В качестве показателей эффективности СМО используются: среднее (здесь и в дальнейшем средние величины понимаются как математические ожидания соответствующих случайных величин) число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

СМО делят на два основных типа (класса) : СМО с отказами и href="cmo_length.php">СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.
СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.
Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S 1 , S 2 , S 3 … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс c дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).
Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы - марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система S - счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t 0 счетчик показывает S 0 . Вероятность того, что в момент t > t 0 счетчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) S 1 , зависит от S 0 , но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента t 0 .
Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S - группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t 0 . Вероятность того, что в момент t > t 0 материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависят в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t 0 , а не того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t 0 .
В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой - так называемым графом состоянии. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние - стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.
Задача 1 . Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение. Возможные состояния системы: S 0 - оба узла исправны; S 1 - первый узел ремонтируется, второй исправен; S 2 - второй узел ремонтируется, первый исправен; S 3 - оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис.1.
Рис. 1
Стрелка, направленная, например, из S 0 в S 1 означает переход системы в момент отказа первого узла, из S 1 в S 0 - переход в момент окончанияремонта этого узла.
На графе отсутствуют стрелки из S 0 , в S 3 и из S 1 в S 2 . Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S 0 в S 3) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S 3 в S 0) можно пренебречь.

Поток событий

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятностей - понятием потока событий.
Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).
Поток характеризуется интенсивностью l - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: l(t)= l. Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в течение суток, скажем, в часы пик. Обращаем внимание на то, что в последнем случае фактическое число проходящих автомобилей в единицу времени (например, в каждую минуту) может заметно отличаться друг от друга, но среднее их число будет постоянно и не будет зависеть от времени.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t 1 и t 2 - число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).
Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени Dt двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поемов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название "простейший" объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является "простейшим", так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.
Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям l 1 (i=1,2, ..., п) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью l, равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.
Рассмотрим на оси времени Ot (рис. 2) простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек.
Рис. 2
Можно показать, что для простейшего потока число т событий (точек), попадающих на произвольный участок времени t, распределено по закону Пуассона , (1)
для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии: a= s 2 = l t.
В частности, вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события (m=0), равна (2)
Найдем распределение интервала времени Т между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.
В соответствии с (15.2) вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна (3)
а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины Т, есть (4)
Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения (рис. 3), т.е. (5)
Рис. 3
Распределение, задаваемое плотностью вероятности (5) или функцией распределения (4), называется показательным (или экспоненциальным). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины (6)
и обратно по величине интенсивности потока l.
Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время t, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (T-t): он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.
Другими словами, для интервала времени Т между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для "отсутствия последействия" - основного свойства простейшего потока.
Для простейшего потока с интенсивностью l вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени Dt хотя бы одного события потока равна согласно (4)
(7)
(Заметим, что эта приближенная формула, получаемая заменой функции e - l Dt лишь двумя первыми членами ее разложения в ряд по степеням Dt, тем точнее, чем меньше Dt).

Вычислительные технологии

Том 13, Специальный выпуск 5, 2008

Исследование полумарковского потока событий

А. А. Назаров, С. В. Лопухова Томский государственный университет, Россия e-mail: nazarov@f pmk. tsu. ru, lopuchovasv@mail. ru

И.Р. Гарайшина

Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске, Россия e-mail: [email protected]

In the submitted work, the semimarkovian process is considered. Limiting model is considered. Results of analytical treatment of limiting model are compared with results, obtained by the asymptotical method.

Введение

Существует проблема расширения класса математических моделей потоков однородных событий. Зачастую классические модели случайных потоков событий не могут быть адекватны реальным информационным, телекоммуникационным потокам. Моделей пуассоповского и простейшего потоков часто бывает недостаточно для более правдоподобного, приближенного к реальности описания входящих потоков для систем массового обслуживания. Несмотря на то что существуют потоки фазового типа и модулированные пуассоновские потоки, которые более адекватны реальным ситуациям, большой интерес представляют модели полумарковского потока, частным случаем которых являются потоки марковского восстановления и все вышеперечисленные потоки. Методы исследования таких моделей достаточно сложны и приводят к значительным математическим проблемам. Поэтому наряду с задачей расширения классов потоков существует проблема развития методов их исследования.

1. Математическая модель

Случайным потоком однородных событий (потоком) будем называть упорядоченную последовательность

t\ < ¿2 < ■ ■ ■

случайных величин tm - моментов наступления событий в потоке.

Пусть задана полумарковская матрица A(x) с элемента ми Aklk2 (x), Матрн ца P = lim A(x) является стохастической, поэтому при заданном начальном распределении

она определяет некоторую цепь Маркова k (tm) с дискретным временем, которую будем называть вложенной в полумарковский поток цепью Маркова,

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.

А. А. Назаров, С. В. Лопухова, И. Р. Гарайшина

Случайный поток однородных событий будем называть полумарковским, если вероятностный закон формирования последовательности (1) определяется начальным распределением и равенствами

Ак1к2 (х) = Р {к(Ьт+1) = к2, Ьт+1 - Ьт < х ^^т) = к\ }

при всех т > 1.

Обозначим п(Ь) число событий полу марко веко го потока, наетуп ивших за время Ь па интервале .

Задачей исследования данной работы является установление распределения вероятностей Р(п, Ь) = Р{п(Ь) = п} при стационарном функционировании эргодичеекой цепи Маркова к (1т). Очевидно, процесс п(Ь) - немарковский, поэтому определим еще два случайных процесса: г(Ь) - длину интервала от момента времени Ь до момента наступления очередного события в рассматриваемом потоке, к(Ь) - непрерывный слева процесс с непрерывным временем, значение которого на интервале (Ьт,Ьт+1] постоянны и определяются равенствами к (Ь) = к (Ьт+1). В силу сделанных определений случайный процесс {к(Ь), п(Ь), г(Ь)} является трехмерным марковским процессом с непрерывным временем.

Заметим, что случайный процесс к(Ь) не является полумарковским в классическом определении , так как полумарковский процесс Б(Ь) непрерывен справа и, как указано в , для его переходных вероятностей не существует дифференциальных эволюционных уравнений Колмогорова, в то время как предложенный выше процесс {к(Ь), п(Ь), г(Ь)} - марковский, поэтому для его распределения вероятностей

Р (к, п, г,Ь) = Р {к(Ь) = к, п(Ь) = п, г(Ь) < г} (2)

нетрудно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова дР (к,п,г,Ь) дР (к,п,г,Ь) дР (к,п, 0,Ь) ^ дР (и,п - 1,0,Ь)

^ дГ (и,1Ь - 1, 0,Ь) А (\ 2-^-

дЬ дг дг ^ дг

Обозначим

Н(к, и, г, г) = ^ е"иПР(к,п,г,Ь),

где ] = ¡~ ~~ мнимая единица. Для этих функций из системы дифференциальных уравнений Колмогорова можно записать

дН (к,и,г,Ь) дН (к,и,г,Ь) дН (к, и, 0,Ь) ,и ^ дН (и, и, 0,Ь)

дЬ дг дг ^ дг

Обозначим Н (и,г,Ь) = {Н (1,и,г,Ь) ,Н (2,и,г,Ь),...} строку вектор-функции, тогда систему уравнений (3) перепишем в матричном виде

дН{и,г,г) _ дН{и,г,г) дН{и,0,г) Мц,г ч п т

дг дг + дг 1 [) "" [ }

решение которой удовлетворяет начальному условию H(u,z, 0) = R(z), где I - единичная матрица, а стационарное распределение R(z) двумерного марковского процесса {k(t), z(t)} является решением задачи Коши

<Ш = <Ш(1-Мг)),

и определяется равенством R{z) = seiт / (Р - A(x))dx, где aei = Здесь г - вектор-

строка стационарного распределения вероятностей значений вложенной цепи Маркова

k(tm); E - единичный вектор-столбец и матрица A = (P - A(x))dx.

2. Допредельная модель

Пусть имеем дифференциальное уравнение (4), решение H (u,z,t) которого удовлетворяет начальному условию H(u, z, 0) = R(z). Тогда преобразование Фурье - Стилтьесса

ф>(u,a,t) = / ejaz dz H (u, z, t) вектор-функ ции H (u,z,t) удовлетворяет уравнению

дф(и,а,Ь) . . дН (и, 0,Ь) , .*. . гЛ, .

т = ~заф{щ а, +-(е?иА*{а) - /) (5)

и начальному условию

ф(и,а, 0) = R*(a) = ^ ё>а2

где А*(а) = J е>а"2dA(z). Решение уравнения (5) имеет вид о

ф(и, а,1) = е~заЬ [ II*{а) + I (¿>иА*{а) - I) dт ] . (6)

Устремив Ь в бесконечность в выражении (6), получим преобразование Фурье по т

дН (и, 0,т) ^ ^ " л

от вектор-функции---. Выполнив обратное преобразование Фурье, определим,

I e-j*A*{aj) 1 da.

А. А. Назаров, С. В. Лопухова, И. Р. Рарайшшиа

Теперь равенство (6) можно записать в виде

ф(ща,г) = е-аЬ Я*(а) +

+ - / е]ат I е~зутК*(у) (/ - е>иА*(у)) 1 Ау (е"иА*(а) - /) <*г). (7)

Зная, что Н(и, ж,г) = Н(и,г) = ф(и, 0,1), получим выражение для вектор-функции Н (и,г):

Тогда распределение вероятностей Р(п, г) числа событий, наступивших за время г, явля-

ции Н(и,Ь) = МеЭип(Ь = Н(и,Ь)Е, оно имеет вид

1 С а1 Г 1 - е-™Ь

Р(п,1) = - е~зипНШ)Е(1и = - / -^-5

I - А* (у) А*(у)п-1Ейу, (8)

I - А* (у) Е<1у

Заключение

Выполняя асимптотические исследования полу марко веко го потока событий, аналогичные исследованию потоков марковского восстановления , получим, что асимптотику третьего порядка для характеристической функции можно записать в виде

МеГап(1) = ^«(ге^+^ае^+^аез*)

где коэффициенты 831, а2, аз3 для полумарковского потока определяются аналогично тому, как это сделано в работах . Полученные равенства (8) определяют распределение вероятностей Р(п,г) числа событий, наступивших в стационарном полумарковском потоке, заданном полумарковской матрицей А(х) и ее преобразованием А*(х) Фурье - Стилтьесса, Численная реализация формул (8) позволяет находить численные значения вероятностей Р(п, г) для достаточно широкого клаееа матриц А* (х) и значений г. Но возможности численной реализации ограничены вычислительными ресурсами. Для достаточно больших значений г естественно применить метод асимптотического анализа полумарковского потока аналогично тому, как это выполнено для потока марковского восстановления в работе и просеянного потока марковского восстановления в работе . Наличие численного алгоритма (8) позволяет определить область применения асимптотических результатов. Для рассмотренных потоков с тремя состояниями вложенной цепи Маркова расстояние Колмогорова - Смирнова между распределениями,

полученными асимптотически и по формулам (8), не превосходит 2-3 % для определенных значений t = Т, это позволяет утверждать, что при t > Т эффективно применение асимптотических результатов, а при t < Т целесообразно использовать формулы (8), полученные в данной работе.

Список литературы

Королюк B.C. Стохастические модели систем. Киев: Наук, думка, 1989. 208 с.

Назаров A.A., Лопухова C.B. Исследование потока марковского восстановления асимптотическим методом второго порядка // Матер. Междунар. науч. конф. "Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей". Гродно, 2007. С. 170-174.

Лопухова C.B. Исследование полумарковского потока асимптотическим методом третьего порядка // Матер. VI Междунар. научно-практ. конф. "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. Ч. 2. С. 30-34.

4. Моделирование по схеме марковских случайных процессов

Для вычисления числовых параметров, характеризующих стохастические объекты, нужно построить некоторую вероятностную модель явления, учитывающую сопровождающие его случайные факторы. Для математического описания многих явлений, развивающихся в форме случайного процесса, может быть с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов. Поясним это понятие. Пусть имеется некоторая физическая система S , состояние которой меняется с течением времени (под системой S может пониматься что угодно: техническое устройство, ремонтная мастерская, вычислительная машина и т. д.). Если состояние S меняется по времени случайным образом, говорят, что в системе S протекает случайный процесс. Примеры: процесс функционирования ЭВМ (поступление заказов на ЭВМ, вид этих заказов, случайные выходы из строя), процесс наведения на цель управляемой ракеты (случайные возмущения (помехи) в системе управления ракетой), процесс обслуживания клиентов в парикмахерской или ремонтной мастерской (случайный характер потока заявок (требований), поступивших со стороны клиентов).

Случайный процесс называется марковским процессом (или «процессом без последствия»), если для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t 0 ) зависит только от её состояния в настоящем (при t = t 0 ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом). Пусть S техническое устройство, которое характеризуется некоторой степенью изношенности S . Нас интересует, как оно будет работать дальше. В первом приближении характеристики работы системы в будущем (частота отказов, потребность в ремонте) зависят от состояния устройства в настоящий момент и не зависят от того, когда и как устройство достигло своего настоящего состояния.

Теория марковских случайных процессов – обширный раздел теории вероятности с широким спектром приложений (физические явления типа диффузии или перемешивания шихта во время плавки в доменной печи, процессы образования очередей).

4.1. Классификация марковских процессов

Марковские случайные процессы делятся на классы. Первый классификационный признак – характер спектра состояний. Случайный процесс (СП) называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы S1, S2, S3… можно перечислить, а сам процесс состоит в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) перескакивает из одного состояния в другое.

Пример. Техническое устройство состоит из двух узлов I и II, каждый из которых может выйти из строя. Состояния: S1 – оба узла работают; S2 – первый узел отказал, второй рабочий; S 3 – второй узел отказал, первый рабочий; S4 – оба узла отказали.

Существуют процессы с непрерывными состояниями (плавный переход из состояния в состояние), например, изменение напряжения в осветительной сети. Будем рассматривать только СП с дискретными состояниями. В этом случае удобно пользоваться графом состояний, в котором возможные состояния системы обозначаются узлами, а возможные переходы - дугами.

Второй классификационный признак – характер функционирования во времени. СП называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени: t1, t2… . Если переход системы из состояния в состояние возможен в любой наперед неизвестный случайный момент, то говорят о СП с непрерывным временем.

4.2. Расчет марковской цепи с дискретным временем

S с дискретными состояниями S1, S2, … Sn и дискретным временем t1, t2, … , tk, … (шаги, этапы процесса, СП можно рассматривать как функцию аргумента (номера шага)). В общем случае СП состоит в том, что происходят переходы S1 ® S1 ® S2 ® S3 ® S4 ® S1 ® … в моменты t1, t2, t3 … .

Будем обозначать событие, состоящее в том, что после k – шагов система находится в состоянии Si . При любом k события https://pandia.ru/text/78/060/images/image004_39.gif" width="159" height="25 src=">.

Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью. Будем описывать марковскую цепь (МЦ) с помощью вероятностей состояний. Пусть – вероятность того, что после k - шагов система находится в состоянии Si . Легко видеть, что " k DIV_ADBLOCK389">

.

Пользуюсь введенными выше событиями https://pandia.ru/text/78/060/images/image008_34.gif" width="119" height="27 src=">. Сумма членов в каждой строке матрицы должна быть равна 1. Вместо матрицы переходных вероятностей часто используют размеченный граф состояний (обозначают на дугах ненулевые вероятности переходов, вероятности задержки не требуются, поскольку они легко вычисляются, например P11=1-(P12+ P13) ). Имея в распоряжении размеченный граф состояний (или матрицу переходных вероятностей) и зная начальное состояние системы, можно найти вероятности состояний p1(k), p2(k),… pn(k) " k.

Пусть начальное состояние системы Sm , тогда

p1(0)=0 p2(0)=0… pm(0)=1… pn(0)=0.

Первый шаг:

p1(1)=Pm1 , p2(1)=Pm2 ,…pm(1)=Pmm ,… ,pn(1)=Pmn .

После второго шага по формуле полной вероятности получим:

p1(2)=p1(1)P11+p2(1)P21+…pn(1)Pn1,

pi(2)=p1(1)P1i+p2(1)P2i+…pn(1)Pni или https://pandia.ru/text/78/060/images/image010_33.gif" width="149" height="47"> (i=1,2,.. n).

Для неоднородной МЦ переходные вероятности зависят от номера шага. Обозначим переходные вероятности для шага k через.

Тогда формула для расчета вероятностей состояний приобретает вид:

.

4.3. Марковские цепи с непрерывным временем

4.3.1. Уравнения Колмогорова

На практике значительно чаще встречаются ситуации, когда переходы системы из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, которые заранее указать невозможно: например, выход из строя любого элемента аппаратуры, окончание ремонта (восстановление) этого элемента. Для описания таких процессов в ряде случаев может быть с успехом применена схема марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем – непрерывная цепь Маркова. Покажем, как выражаются вероятности состояний для такого процесса. Пусть S={ S1, S2,… Sn}. Обозначим через pi(t) - вероятность того, что в момент t система S будет находиться в состоянии ). Очевидно . Поставим задачу – определить для любого t pi(t) . Вместо переходных вероятностей Pij введем в рассмотрение плотности вероятностей перехода

.

Если не зависит от t , говорят об однородной цепи, иначе - о неоднородной. Пусть нам известны для всех пар состояний (задан размеченный граф состояний). Оказывается, зная размеченный граф состояний можно определить p1(t), p2(t).. pn(t) как функции времени. Эти вероятности удовлетворяют определенного вида дифференциальным уравнениям, (уравнения Колмогорова).

Интегрирование этих уравнений при известном начальном состоянии системы даст искомые вероятности состояний как функции времени. Заметим, что p1+ p2+ p3+ p4=1 и можно обойтись тремя уравнениями.

Правила составления уравнений Колмогорова . В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак минус, если в состояние - знак плюс. Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующего данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

4.3.2. Поток событий. Простейший поток и его свойства

При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто бывает удобно представить себе процесс так, как будто переходы системы из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени. (Поток вызовов на телефонной станции; поток неисправностей (сбоев) ЭВМ; поток грузовых составов, поступающих на станцию; поток посетителей; поток выстрелов, направленных на цель). Будем изображать поток событий последовательностью точек на оси времени ot . Положение каждой точки на оси случайно. Поток событий называется регулярным , если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени (редко встречается на практике). Рассмотрим специального типа потоки, для этого введем ряд определений. 1. Поток событий называется стационарным , если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси ot расположен этот участок (однородность по времени) – вероятностные характеристики такого потока не должны меняться от времени. В частности, так называемая интенсивность (или плотность) потока событий (среднее число событий в единицу времени) постоянна.

2. Поток событий называется потоком без последствия , если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков). Отсутствие последствия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга.

3. Поток событий называется ординарным , если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного события (события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д.).

Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, называется простейшим (или стационарным пуассоновским ). Нестационарный пуассоновский поток обладает только свойствами 2 и 3. Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и нестационарный) тесно связан с известным распределением Пуассона. А именно, число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона. Поясним это подробнее.

Рассмотрим на оси о t , где наблюдается поток событий, некоторый участок длины t, начинающийся в момент t 0 и заканчивающийся в момент t 0 + t. Нетрудно доказать (доказательство дается во всех курсах теории вероятности), что вероятность попадания на этот участок ровно m событий выражается формулой:

(m =0,1…),

где а – среднее число событий, приходящееся на участок t.

Для стационарного (простейшего) пуассоновского потока а= l t , т. е. не зависит от того, где на оси ot взят участок t. Для нестационарного пуассоновского потока величина а выражается формулой

и значит, зависит от того, в какой точке t 0 начинается участок t.

Рассмотрим на оси ot простейший поток событий с постоянной интенсивностью l. Нас будет интересовать интервал времени T между событиями в этом потоке. Пусть l - интенсивность (среднее число событий в 1 времени) потока. Плотность распределения f (t ) случайной величины Т (интервал времени между соседними событиями в потоке) f (t )= l e - l t (t > 0) . Закон распределения с такой плотностью называется показательным (экспоненциальным). Найдем численные значения случайной величины Т : математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию left">

Промежуток времени Т между соседними событиями в простейшем потоке распределен по показательному закону; его среднее значение и среднее квадратичное отклонение равны , где l - интенсивность потока. Для такого потока вероятность появления на элементарном участке времени ∆t ровно одного события потока выражается как . Эту вероятность мы будем называть «элементом вероятности появления события».

Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка Т уже не будет показательным. Вид этого закона будет зависеть, во первых, от того, где на оси ot расположено первое из событий, во вторых, от вида зависимости . Однако, если меняется сравнительно медленно и его изменение за время между двумя событиями невелико, то закон распределения промежутка времени между событиями можно приближенно считать показательным, полагая в этой формуле величину равной среднему значению на том участке, который нас интересует.

4.3.3. Пуассоновские потоки событий и

непрерывные марковские цепи

Рассмотрим некоторую физическую систему S={ S1, S2,… Sn} , которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий (вызовы, отказы, выстрелы). Будем себе это представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий.

Пусть система S в момент времени t находится в состоянии Si и может перейти из него в состояние Sj под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностью l ij : как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит из Si в Sj ..gif" width="582" height="290 src=">

4.3.4. Предельные вероятности состояний

Пусть имеется физическая система S={ S1, S2,… Sn} , в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что l ij= const , т. е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим p1(t), p2(t),… pn(t), при любом t . Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t ® ¥. Будут ли функции pi(t ) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют (i=1,2,… n), .

Таким образом, при t ® ¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления pi в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением .

4.3.5. Схема гибели и размножения

Мы знаем, что имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

https://pandia.ru/text/78/060/images/image044_6.gif" width="73" height="45 src="> (4.4)

Из второго, с учетом (4.4), получим:

https://pandia.ru/text/78/060/images/image046_5.gif" width="116" height="45 src="> (4.6)

и вообще, для любого k (от 1 до N):

https://pandia.ru/text/78/060/images/image048_4.gif" width="267" height="48 src=">

отсюда получим выражение для р0.

(4. 8)

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р0 (см. формулы (4.4) - (4.7)). Заметим, что коэффициенты при p0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (4.8). Значит, вычисляя р0, мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

Потоком событий называют последовательность однородных собы­тий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. При­меры: поток вызовов на телефонной станции; поток сбоев ЭВМ; поток заявок на проведение расчетов в вычислительном центре и т.п.

Поток событий наглядно изображается рядом точек с абсциссами Q 1, Q 2 , ..., Q n , ... (рис. 6.15) с интервалами между ними: Т 1 = Q 2 - Q 1, T 2 = Q 3 -Q 2 , ..., Т п = Q n +1 - Q n . При его вероятностном описании поток событий может быть представлен как последовательность случайных ве­личин:

Q 1 ; Q 2 = Q 1 + T 1 ; Q 3 = Q 1 + T 1 + T 2 ; и т.д.

На рисунке в виде ряда точек изображен не сам поток событий (он случаен), а только одна его конкретная реа­лизация.

Поток событий называется стационар­ным, если его вероятностные характеристики не зависят от выбора начала отсчета или, более конкретно, если вероятность попадания того или другого числа событий на любой интервал времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от того, где именно на оси 0-t он расположен.

Рисунок 6.15 – Реализация потока событий

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный интервал времени двух или более событий пренебре­жимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Рисунок 6.16 – Поток событий как случайный процесс

Ординарный поток событий можно интерпретировать как случайный процесс Х(t) - число событий, появившихся до момента t(рис. 6.16). Случайный процесс Х(t) скачкообразно возрастает на одну единицу в точках Q ,Q 2 ,...,Q n .

Поток событий называется потоком без последействия, если число собы­тий, попадающих на любой интервал времени , не зависит от того, сколь­ко событий попало на любой другой не пересекающийся с ним интервал. Практически отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты времени незави­симо друг от друга.

Поток событий называется простейшим, если он стационарен, ордина­рен и не имеет последействия. Интервал времени T между двумя соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение

(при t>0 ); (6.21)

где / М [Т] -величина, обратная среднему значению интервала Т.

Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским. Простейший поток является частным случаем стационарного пуассоновского потока. Интенсивностью потока событий называется среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока ; для нестационарного потока она в общем случае зависит от времени: .

Марковские случайные процессы . Случайный процесс называют марковским , если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t 0 вероят­ность любого состояния системы в будущем (при t >t 0 ) зависит только от ее состояния в настоящем (при t =t 0 ) и не зависит от того, каким обра­зом система пришла в это состояние.

В данной главе будем рассматривать только марковские процессы c дискретными состояниями S 1, S 2 , ...,S n . Такие процессы удобно иллюст­рировать с помощью графа состояний (рис. 5.4), где прямоугольниками (или кружками) обозначены состояния S 1 , S 2 , … системы S, а стрелками - возможные переходы из состояния в состояние (на графе отме­чаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния).

Рисунок 5.4 – Граф состояний случайного процесса

Иногда на графе состояний отмечают не только возможные пере­ходы из состояния в состояние, но и возможные задержки в прежнем состоянии; это изображается стрелкой («петлей»), направленной из данного состояния в него же, но можно обходиться и без этого. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дис­кретным временем обычно называют марковской цепью. Для такого про­цесса моменты t 1 , t 2 ..., когда система S может менять свое состояние, удобно рассматривать как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, рассматривать не время t, а номер шага: 1, 2, . . ., k;…. Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний

если S(0) - начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) - состояние системы непосредственно после первого шага; ...; S(k) - со­стояние системы непосредственно после k-го шага....

Событие S i , (i= 1,2,...) является случайным событием, поэтому последо­вательность состояний (5.6) можно рассматривать как последователь­ность случайных событий. Начальное состояние S(0) может быть как заданным заранее, так и случайным. О событиях последовательности (5.6) говорят, что они образуют марковскую цепь.

Рассмотрим процесс с n возможными состояниями S 1, S 2 , ..., S n . Если обозначить через Х(t) номер состояния, в котором находится система S в мо­мент t, то процесс описывается целочисленной случай­ной функцией Х(t)>0 , возможные значения которой равны 1, 2,...,n . Эта функция совершает скачки от одного целочисленного значения к другому в заданные моменты t 1 , t 2 , ... (рис. 5.5) и является непрерывной слева, что отмечено точками на рис. 5.5.

Рисунок 5.5 – График случайного процесса

Рассмотрим одномерный закон распределения случайной функции Х(t). Обозначим через вероятность того, что после k -го шага [и до (k+1 )-го] система S будет в состоянии S i (i=1,2,...,n) . Веро­ятности р i (k) называются вероятностями состояний цепи Маркова. Очевидно, для любого k

. (5.7)

Распределение вероятностей состояний в начале процесса

p 1 (0) ,p 2 (0),…,p i (0),…,p n (0) (5.8)

называется начальным распределением вероятностей марковской цепи. В частности, если начальное состояние S(0) системы S в точности извест­но, например S(0)=S i , то начальная вероятность P i (0) = 1, а все остальные равны нулю.

Вероятностью перехода на k -м шаге из состояния S i в состояние S j называется условная вероятность того, что система после k -го шага окажется в состоянии S j при условии, что непосредственно перед этим (после k - 1 шагов) она находилась в состоянии S i . Вероятности перехода иногда называются также «переходными вероятностями».

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого состоя­ния и в какое осуществляется переход:

Переходные вероятности однородной марковской цепи Р ij образуют квадратную таблицу (матрицу) размером n * n :

(5.10)

. (5.11)

Матрицу, обладающую таким свойством, называют стохастической. Вероятность Р ij есть не что иное, как вероятность того, что система, при­шедшая к данному шагу в состояние S j , в нем же и задержится на очеред­ном шаге.

Если для однородной цепи Маркова заданы начальное распределение вероятностей (5.8) и матрица переходных вероятностей (5.10), то вероятности состояний системы могут быть опреде­лены по рекуррентной формуле

(5.12)

Для неоднородной цепи Маркова вероятности перехода в матрице (5.10) и формуле (5.12) зависят от номера шага k .

Для однородной цепи Маркова, если все состояния являются сущест­венными, а число состояний конечно, существует предел определяемый из системы уравнений и Сумма переходных вероятностей в любой строке матрицы равна единице.

При фактических вычислениях по формуле (5.12) надо в ней учитывать не все состояния S j , а только те, для которых переходные вероятности отличны от нуля, т.е. те, из которых на графе состояний ведут стрелки в состояние S i .

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем иногда называют «непрерывной цепью Маркова» . Для такого процесса вероятность перехода из состояния S i в S j для любого момента времени равна нулю. Вместо вероятности перехода p ij рассматривают плотность вероятности перехода которая определяется как предел отношения вероятности перехода из состояния S i в состояние S j за малый промежуток времени , примыкающий к моменту t, к длине этого промежутка, когда она стремится к нулю. Плотность вероятности перехо­да может быть как постоянной (), так и зависящей от времени . В первом случае марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется однородным. Типичный пример такого процесса - случайный процесс Х(t), представ­ляющий собой число появившихся до момента t событий в простейшем потоке (рис. 5.2).

При рассмотрении случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем удобно представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых по­токов событий. При этом плотности вероятностей перехода получают смысл интенсивностей соответствующих потоков событий (как только происходит первое событие в потоке с интенсивностью , система из со­стояния S i скачком переходит в Sj) . Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет мар­ковским.

Рассматривая марковские случайные процессы с дискретными со­стояниями и непрерывным временем, удобно пользоваться гра­фом состояний, на котором против каждой стрелки, ведущей из состоя­ния S i , в S j проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке (рис.5.6). Такой граф состояний называ­ют размеченным.

Вероятность того, что система S, находящаяся в состоянии S i , за эле­ментарный промежуток времени () перейдет в состояние S j (эле­мент вероятности перехода из S i в S j ), есть вероятность того, что за это время dt появится хотя бы одно событие потока, переводящего систему S из S i в S j . С точностью до бесконечно малых высших порядков эта вероятность равна .

Потоком вероятности перехода из состояния Si в Sj называется вели­чина (здесь интенсивность может быть как зависящей, так и не­зависящей от времени).

Рассмотрим случай, когда система S имеет конечное число состояний S 1, S 2 ,..., S п. Для описания случайного процесса, протекающего в этой системе, применяются вероятности состояний

(5.13)

где р i (t) - вероятность того, что система S в момент t находится в состоя­нии S i:

. (5.14)

Очевидно, для любого t

Для нахождения вероятностей (5.13) нужно решить систему диф­ференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид

(i=1,2,…,n),

или, опуская аргумент t у переменных р i ,

(i=1,2,…,n ). (5.16)

Напомним, что интенсивности потоков ij могут зависеть от времени .

Уравнения (5.16) удобно составлять, пользуясь размеченным гра­фом состояний системы и следующим мнемоническим правилом: произ­водная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков веро­ятности, переводящих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятности, переводящих из данного состояния в другие. Напри­мер, для системы S, размеченный граф состояний которой дан на рис. 10.6, система уравнений Колмогорова имеет вид

(5.17)

Так как для любого t выполняется условие (5.15), можно любую из вероятностей (5.13) выразить через остальные и таким образом уменьшить число уравнений на одно.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (5.16) для вероятностей состояний р 1 (t) p 2 (t ), …, p n (t ), нужно задать начальное распределение вероятностей

p 1 (0),p 2 (0), …,p i (0), …,p n (0 ), (5.18)

сумма которых равна единице.

Если, в частности, в начальный момент t = 0 состояние системы S в точности известно, например, S(0) =S i , и р i (0) = 1, то остальные вероятноcти выражения (5.18) равны нулю.

Во многих случаях, когда процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, возникает вопрос о предельном поведении ве­роятностей р i (t) при . Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются простейшими (т.е. стацио­нарными пуассоновскими с постоянными интенсивностями ), в неко­торых случаях существуют финальные (или предельные) вероятности со­стояний

, (5.19)

независящие от того, в каком состоянии система S находилась в началь­ный момент. Это означает, что с течением времени в системе S устанавли­вается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются. В этом предельном режиме каждая финальная вероятность может быть истолкована как среднее относительное время пребывания системы в дан­ном состоянии.

Систему, в которой существуют финальные вероятности, называют эргодической. Если система S имеет конечное число состояний S 1 , S 2 , . . . , S n , то для су­ществования финальных вероятностей достаточно, чтобы из любого со­стояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое. Если число состояний S 1 , S 2 , . . . , S n , бесконечно, то это условие перестает быть достаточным, и существование финальных вероятностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивностей .

Финальные вероятности состояний (если они существуют) могут быть получены решением системы линейных алгебраических уравнений, они получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если по­ложить в них левые части (производные) равными нулю. Однако удобнее составлять эти уравнения непосредственно по графу состояний, пользу­ясь мнемоническим правилом: для каждого состояния суммарный выхо­дящий поток вероятности равен суммарному входящему. Например, для системы S, размеченный граф состояний которой дан на р ис. 5.7, уравнения для финальных вероятностей состояний имеют вид

(5.20)

Таким образом, получается (для системы S с п состояниями) система n однород­ных линейных алгебраических уравнений с n неизвест­ными р 1, р 2 , ..., р п. Из этой системы можно найти неизвестные р 1 , р 2 , . . . , р п с точностью до произвольного множителя. Чтобы найти точные значения р 1 ,..., р п, к уравнениям добавляют нормировочное условие p 1 + p 2 + … + p п =1, пользуясь которым можно выразить любую из ве­роятностей p i через другие (и соответственно отбросить одно из уравне­ний).

Вопросы для повторения

1 Что называют случайной функцией, случайным процессом, сечением случайного процесса, его реализацией?

2 Как различаются случайные процессы по своей структуре и характеру протекания во времени?

3 Какие законы распределения случайной функции применяют для описания случайной функции?

4 Что представляет собой функция математического ожидания случайной функции, в чем ее геометрический смысл?

5 Что представляет собой функция дисперсии случайной функции, в чем ее геометрический смысл?

6 Что представляет собой корреляционная функция случайного процесса, и что она характеризует?

7 Каковы свойства корреляционной функции случайного процесса?

8 Для чего введено понятие нормированной корреляционной функции?

9 Объясните как по опытным данным получить оценки функций характеристик случайного процесса?

10 В чем отличие взаимной корреляционной функции от автокорреляционной функции?

11 Какой случайный процесс относят к стационарным процессам в узком смысле и в широком?

12 В чем заключается свойство эргодичности стационарного случайного процесса?

13 Что понимают под спектральным разложением стационарного случайного процесса и в чем его необходимость?

14 Какова связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью стационарной случайной функции?

15 Что называют простейшим потоком событий?

16 Какой случайный процесс называют марковской цепью? В чем заключается методика расчета ее состояний?

17 Что представляет собой марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем?

M(U)=10, D(U)=0.2 .

6.5 Найти нормированную взаимную корреляционную функцию случайных функций X(t)=t*U и Y(t)=(t+1)U , где U – случайная величина, причем дисперсия D(U)=10 .

СМО – система, подразумевающая наличие в ней 2х процессов: поступления заявок и обслуживания заявок.

Условно схема представляется в виде

И Накопитель К

Обслуживающий прибор

Процесс поступления заявок – процесс по времени.

Поток событий – последовательность моментов времени наступления каких-либо событий.

С любой СМО связаны 3 потока:

1) входной поток. Последовательность моментов времени поступления заявок

2) выходной поток. Последовательность моментов времени ухода обслужившихся заявок.

3) поток обслуживаний. Последовательность моментов времени окончания ослуживания заявок в предположении что обслуживание осуществляется непрерывно.

Поток характеризуется интенсивностью – среднее число событий в единицу времени.

Поток наз-ся регулярным , если интервалы времени между событиями в нём одинаковы. Нерегулярный – если интервалы времени м\ду событиями – случайные величины.

Поток рекуррентный , если интервалы времени между событиями – случайные величины, распределённые по одному и томуже закону.

Поток наз-ся однородным , если он х-ся только множеством {ti} наступивших событий. Неоднородный – если он описывается множеством {ti,fi}, где ti – моменты времени наступления событий, fi – признак заявки.

Сами СМО подразделяются на СМО с отказами и СМО с очередями . СМО с очередями подразделяется на с ограниченной очередью и с неограниченной очередью. Частный случай – ограниченное время ожидания в очереди.

В системах последнего типа заявки, которые не могут быть обслужены сразу, составляют очередь и с помощью некоторой дисциплины обслуживания выбираются из нее. Некоторые наиболее употребляемые дисциплины:

1) FIFO (first in – first out) – в порядке поступления;

2) LIFO (last in – first out) – первой обслуживается поступившая последней;

3) SIRO (service in random order) – в случайном порядке;

4) – приоритетные системы. (абсолютный и относительный приоритеты. При относительном заявки выстраиваются по значению приоритета – вначале высокие, потом ниже.)

Для краткой характеристики СМО Д.Кендалл ввел символику (нотацию)

m - число обслуживающих каналов;

n – количество мест ожидания (емкость накопителя).

k – кол-во источников.

A и B характеризуют соответственно входной поток и поток обслуживания, задавая функцию распределения интервалов между заявками во входном потоке и функцию распределения времен обслуживания.

А и В могут принимать значения:

D – детерминированное распределение;

М – показательное;

Е r – распределение Эрланга;

H r - гиперпоказательное;

G – распределение общего вида.

При этом подразумевается, что потоки являются рекуррентными , т.е. интервалы между событиями независимы и имеют одинаковое распределение. Обязательными в нотации являются первых 3 позиции. По умолчанию если n отсутствует имеем систему с отказами, если отсутствует k, то по умолчанию – один источник.

9. Простейший поток, его свойства и значение при исследовании смо.

Поток, удовлетворяющий следующим трем требованиям, называются простейшим.

1)Поток стационарен , если вероятность поступления заданного числа событий в течение интервала времени фиксированной длины зависит только от продолжительности интервала и не зависит от его расположения на временной оси.

2)Поток ординарный , если вероятность появления двух или более событий в течение элементарного интервала времени
→0 есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале.

3)Поток называется потоком без последействия , если для любых неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Иногда это свойство формулируют следующим образом: распределение времени до ближайшего события не зависит от времени наблюдения, т.е. от того, сколько времени прошло после последнего события.

Поток, удовлетворяющий этим трем условиям, называется простейшим.

Для него число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени подчиняется закону Пуассона, поэтому его иначе называют стационарным пуассоновским.

вероятность того, что за интервал времени τ произойдет ровно m событий.

Условие отсутствие последствия (заявки поступают независимо друг от друга) наиболее существенно для простейшего потока.

пуассоновского распределения.

Вероятность того, что за не произойдет не одного события

Вероятность, что за времяпроизойдет хотя бы одно событие

Иногда удобней анализировать систему, рассматривая интервалы между событиями T:

Это показательный закон с интенсивностью .

Математическое ожидание и среднее квадратичное для T:

Свойство отсутствие последействия позволяет использовать для исследования простейшего потока аппарат Марковских цепей.

Введем состояния системы следующим образом – считаем систему, находящейся в состоянии S, если в момент времени t в системе находится S заявок.

Определим вероятность для системы, состояние которой определяется только поступление заявок, того что в момент
система останется в том же состоянии. Очевидно, эта вероятность определяется тем, что за интервал
не поступит ни одной заявки

(S=0, 1, 2…)

Разлагая в ряд, получим:

Вероятность получения хотя бы одной заявки

Аналогичные соотношения можно получить, рассматривая процесс обслуживания заявок.

Простейшие или близкие к ним потоки часто встречаются на практике.

При суммировании достаточно большого кол-ва потоков с последействием, получается поток с последействием. В простейшем потоке приблизительно 68% маленьких интервалов

При вероятностном просеивании простейшего потока получается простейший поток

10. Непрерывно-стохастические модели (Q -схемы). Одноканальная СМО с блокировкой. Построение графа состояний .

При построении моделей такого рода как правило, используются рассмотрения моделируемых объектов, как Систем Массового Обслуживания (СМО).

Таким образом могут быть представлены различные по своей физической природе процессы – экономические, технические, производственные и т.д.

В СМО можно выделить два стохастических процесса:

Поступление заявок на обслуживание;

Обслуживание заявок.

Поток событий – последовательность событий, происходящих одно за другим в некоторые моменты времени. В СМО будем выделять два потока:

Входной поток: множество моментов времени поступления в систему заявок;

Поток обслуживания: множество моментов окончания обработки системой заявок.

В общем случае СМО элементарного вида может быть представлено следующим образом

Обслуживающий прибор

И – источник;

О – очередь;

К – канал обслуживания.

Одноканальная СМО с блокировкой . Система M / M / 1/ n

Рассмотрим двухфазную систему, для которой при исследовании P – схем полагали детерминированный входной и просеянный поток обслуживания.

Считаем, что теперь входной поток пуассоновский с интенсивностью, а поток обслуживания – пуассоновский с интенсивностью.

Как и прежде, дисциплина обслуживания FIFO с блокировкой источника.

Состояние – число заявок в системе.

Всего возможно n +3 состояния: от 0 до n +2 .

Обозначим
- вероятность прихода за
i заявок;

- вероятность обслуживания за
i заявок.

ввиду ординарное

Аналогично

+
=

1-
+

Система уравнений:
и
- вероятности состояний.

при
получим

Ввиду стационарности потоков имеем:

и
,

Аналогично для остальных строк системы.

Окончательно имеем:

Получена система алгебраических уравнений.

Преобразуем её, начиная со второго и заканчивая предпоследним - новое уравнение получаем сложением старого с новым предыдущим.

В результате новое предпоследнее будет совпадать со старым последним уравнением:

i=0, 1,….n+1

Обозначим

,

Используем уравнеие нормировки

;

;

Это сумма геометрической прогрессии:

Cреднее время обсл. заявки